Hypotrochoide / Hypozykloide: Die Formenvielfalt bei einer Übersetzung von 7:1

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Es wird ein Überblick über die Formenvielfalt gegeben anhand

• der Anzahl der Spitzen bzw. Schleifen
• der Anzahl der genähert geradegeführten Kurvenabschnitte
• der Anzahl der Selbstberührungspunkte
• der Anzahl der Selbstschnittpunkte
• der Anzahl der Wendepunkte (Wechsel der Krümmungsmittelpunkte von einer Seite der Hypotrochoiden auf die andere Seite)
  (Wechsel von Links- und Rechtskurven)

Die Kreise, die die Ränder der Ringe bilden, sind bekannt. Es handelt sich um

• den BALLschen Kreis, dessen Punkte Epritochoiden mit genäherten Geraden durchlaufen
  (In diesem Fall ist der BALLsche Kreis kleiner als die Darstellung des Drehpunkts, so dass er nicht sichtbar ist)
• die Gangpolkurve, die mit der Lauffläche des Rades identisch ist und deren Punkte Epritochoiden mit Spitzen durchlaufen
• die Übergangskurve, deren Punkte Epritochoiden mit Selbstberührungspunkten erzeugen. Die Anzahl der Übergangskurven variert. Sie kann 0, 1 oder eine Zahl größer als 1 sein.
  (In diesem Fall ist die Anzahl gleich 2)

Der äußerste Ring ist nicht eingefärbt, da er die ganze Fläche außerhalb des äußersten Kreises einnimmt (und somit bis ins Unendliche reicht)

• Bei einigen Trochoiden erzeugenden Getriebe gibt es zusätzlich einen Sonderfall, bei dem sich auschließlich Selbstschnittpunkte zu einem Mehrfach-Selbstschnittpunkt überlagern. Ein solcher Sonderfall liegt hier vor.

In der folgenden Tabelle wird abwechselnd beschrieben, wie eine Hypotrochoide aussieht,

1. wenn deren erzeugender Punkt auf dem inneren Rand eines Rings liegt
2. wenn deren erzeugender Punkt auf der Fläche des Rings liegt

• wenn der Punkt auf dem äußeren Rand eines Rings liegt, liegt er gleichzeitig auf dem inneren Rand des nächstgrößeren Rings. Somit folgt auf die Beschreibung 2 die Beschreibung 1 des nächstgrößeren Rings

In der Mitte aller Ringe liegt eine Scheibe, deren Mittelpunkt den inneren Rand eines "scheibenförmigen Rings" bildet. Mit diesem Mittelpunkt fängt die Tabelle an.

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	Anzahl Schleifen 7 Übersetzung i=7:1 Anzahl Umläufe 1	Bemerkungen zu dem die Hypotrochoide erzeugenden Punkt Bermerkungen zur Form der Hypotrochoide
Erzeugende Punkt liegt im Mittelpunkt eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt ist identisch mit Mittelpunkt des Rades Hypotrochoide ist ein Kreis
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt zwischen Mittelpunkt des Rades und BALLschem Kreis (BALLscher Kurve) Der Krümmungsmittelpunkt der Bahn wechselt nicht die Seite. (In diesem Fall ist der BALLsche Kreis kleiner als die Darstellung des Drehpunkts, so dass er als Begrenzungslinie des Rings nicht sichtbar ist)
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 7 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf dem BALLschen Kreis (der BALLschen Kurve) Der BALLscher Kreis befindet sich zwischen Mittelpunkt und Rand des umlaufenden Rades Der Radius des Ballschen Kreises ist bei dieser Übersetzung 0.16666 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 14		Punkt liegt zwischen BALLschen Kreis (BALLscher Kurve) und Gangpolkurve (In diesem Fall ist der BALLsche Kreis kleiner als die Darstellung des Drehpunkts, so dass er als Begrenzungslinie des Rings nicht sichtbar ist)
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 7 Selbstschnittpunkte 0 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf der Gangpolkurve Die Gangpolkurve ist mit dem äußeren Rand des umlaufenden Rades identisch. Der Radius der kreisförmigen Gangpolkurve ist 1.0 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 7 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt außerhalb der Gangpolkurve (außerhalb des umlaufenden Rades) Punkt liegt zwischen Gangpolkurve und einem Kreis um das umlaufende Rad, der durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades geht. Punkte auf dem Kreis des umlaufenden Rades durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades stellen einen Sonderfall dar, bei dem alle Selbstschnittpunkte über einander liegen, weshalb auch die Form des Hypotrochoide einen Sonderfall darstellt und den Ring außerhalb der Gangpolkurve in zwei Ringe mit den gleichen Eigenschaften auftrennt.
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 7 Selbstberührungspunkte 7 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf der 1. Übergangskurve (von 2 Übergangskurven) Die kreisförmige Übergangskurve befindet sich außerhalb des Randes des umlaufenden Rades Der Radius der Übergangskurve ist kleiner oder gleich dem Abstand Mittelpunkt umlaufendes Rad zu Mittelpunkt feststehendes Rad Der Radius der Übergangskurve ist bei dieser Übersetzung 4.18096 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades) In dem hier vorliegenden allgemeinen Fall berühren sich die benachbarten Schleifen (und nicht die gegenüberliegenden Schleifen) .
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 21 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt außerhalb der 1. Übergangskurve (von 2 Übergangskurven) Das Varieren des Abstandes des erzeugenden Punktes vom Mittelpunkt des umlaufenden Rades ändert den qualitativen Verlauf der Hypotrochoide nicht, solange der erzeugende Punkt zwischen der 1. und der . Übergangskurve liegt.
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 21 Selbstberührungspunkte 7 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt auf der 2. Übergangskurve (von 2 Übergangskurven) Die kreisförmige Übergangskurve befindet sich außerhalb des Randes des umlaufenden Rades Der Radius der Übergangskurve ist kleiner oder gleich dem Abstand Mittelpunkt umlaufendes Rad zu Mittelpunkt feststehendes Rad Der Radius der Übergangskurve ist bei dieser Übersetzung 5.78960 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades) In dem hier vorliegenden allgemeinen Fall berühren sich die benachbarten Schleifen (und nicht die gegenüberliegenden Schleifen) .
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 35 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt außerhalb der 2. Übergangskurve (von 2 Übergangskurven) Eine beliebige Verlängerung des Abstandes des erzeugenden Punktes vom Mittelpunkt des umlaufenden Rades ändert den qualitativen Verlauf der Hypotrochoide nicht, solange der erzeugende Punkt außerhalb der größten Übergangskurve liegt.
Erzeugende Punkt ist ein Sonderfall Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 14 Mehrfach-Selbstschnittpunkte 1 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt liegt auf einem Kreis um den Mittelpunkt des umlaufenden Rades und durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Radius dem feststehenden Rades (7.0) minus dem Radius dem umlaufenden Rades (1.0), also 6.0 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades) Es handelt sich um einen Sonderfall. Die Eigenschaften der Hypotrochoiden von Punkten im Ring innerhalb dieses Kreies und im Ring außerhalb dieses Kreises unterscheiden sich nicht.
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings Genäherte Geradführungen 0 Spitzen 0 Selbstschnittpunkte 35 Selbstberührungspunkte 0 Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes 0		Punkt liegt außerhalb des Kreises um den Mittelpunkt des umlaufenden Rades und durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades [und außerhalb der Gangpolkurve (außerhalb des umlaufenden Rades)] Die Punkte dieses Rings erzeugen Trochoiden mit den gleichen Eigenschaften wie die Punkte des nächst-kleineren Rings, da beide Ringe nur durch einen Sonderfall getrennt wurden. Punkt liegt zwischen Gangpolkurve und 1. Übergangskurve.

Zusammenfassung der Links dieser Seite:

• Herleitung der Formenvielfalt von Hypotrochoiden
• Übersicht über die Formenvielfalt von Hypotrochoiden
• Herleitung der Formenvielfalt von Epitrochoiden
• Animation von Trochoiden

© Volker Jäkel, 3.1.2024

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