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Eine Herleitung der Formenvielfalt der Hypotrochoide bzw. Hypozykloide

von Volker Jäkel

Eine Hypotrochoide ist eine (hier rot dargestellte) Kurve. Hypotrochoiden werden duch das Abrollen eines (hier gelb dargestellten) Rades innerhalb eines (hier grau dargestelltes) feststehendes Rad erzeugt. Der die Kurve erzeugende Punkte kann innerhalb des gelben Rades, auf dem Rand oder (wie in der Abbildung) außerhalb des umlaufenden Rades liegen.

Die Animation startet, wenn der Cursor sich über dem Bild befindet

Die klassische Einteilung

  1. Das feststehende Hohlrad ist größer als doppelt so groß wie das umlaufende Rad

    • Das Übersetzungsverhältnisses i = 'Radius des feststehenden Rades' / 'Radius des umlaufenden Rades' muss also größer als 2:1 = 2 sein. (hier: ist i = 4:1 = 4)
    • Die Anzahl der Schleifen bzw. Spitzen ergibt sich aus dem Zähler des Übersetzungsverhältnisses (hier: ist i=4:1, somit sind ist Anzahl der Spitzen 4)
    • Punkte innerhalb des umlaufenden Rades erzeugen geschweifte oder verkürzte Hypotrochoiden (links)
    • Punkte auf dem Rand des umlaufenden Rades erzeugen spitze Hypotrochoiden (auch Hypozykloide genannt) (mitte)
    • Punkte außerhalb des umlaufenden Rades erzeugen verschlungene oder verlängerte Hypotrochoiden (rechts)

  2. Das feststehende Hohlrad ist kleiner als doppelt so groß wie das umlaufende Rad

  3. Sonderfall: Das feststehende Hohlrad ist genau doppelt so groß wie das umlaufende Rad

Die klassische Einteilung reicht nicht aus, um die Formenvielfalt der Hypotrochoiden zu beschreiben bzw. zu ermitteln.


Sie berücksichtigt nämlich z. B. nicht

Vorüberlegungen zur Herleitung der Formenvielfalt von Hypotrochoiden

Wie aus dem Kapitel über die klassische Einteilung der Formen der Hypotrochoiden hervorgeht, muss zwischen Hypotrochoiden mit unterschieden werden.

Wie sich aber schon aus den beiden Bildreihen mit jeweils 3 Bildern mit 'i > 2:1' bzw. 'i < 2:1' (siehe oben) andeutet, können die gleichen Hypotrochoiden

erzeugt werden - allerdings in einem anderen Maßstab. Diese Erkenntnis wird zweifache Erzeugung (doppelte Erzeugung) von Hypotrochoiden genannt. Die zweifache Erzeugung erlaubt es, sich hier (vorerst) auf einen Fall der Erzeugung zu konzentrieren, nämich auf das Übersetzungsverhältnis 'i > 2:1'

Die zweifache Erzeugung von Hypotrochoiden

Jede Trochoide kann durch zwei verschiedene Übersetzungsverhältnisse i = 'Radius des feststehenden Rades' / 'Radius des umlaufenden Rades' = iZ/iN erzeugt werden.
Die Animation
"Wechsels zwischen den beiden die Hyporochoide erzeugenden Getrieben"
startet, wenn der Cursor sich über dem Bild befindet

Folgerndermaßen lässt sich das Übersetzungsverhältnis i2 = iZ2/iN2 des zweiten Getriebes berechnen:

Der Abstand a2 zwischen dem 'die Trochoide erzeugenden Punkt' und dem 'Mittelpunkt des umlaufenden Rades' des zweiten erzeugenden Getriebes lässt sich aus dem Abstand a des Orignalgetriebes folgendermaß ermitteln:

Damit die zweite Hypotrochoide die gleiche Größe aufweist wie die erste, muss allerdings das zweite Getriebe noch vom Maßstab angepasst werden. Diesen Maßstab berücksichtigen die hier aufgeführten Gleichungen nämlich nicht, da sie ja mit dem Übersetzungsverhältnis arbeiten und nicht mit den Radabmessungen.

Um die Formenvielfalt ermitteln zu können sind einige phänomenologische Betrachtungen zur Entstehung einer Hypotrochoide / Hypozyloide notwendig:

Wer es genau wissen will, muss das Kapitel 4 meiner Dissertation Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve lesen. Alle notwendigen Gleichungen sind dort in der Tabelle 4.1 zusammengefasst. Für alle anderen sollten folgende phänomenologische Betrachtungen ausreichend sein:

Bahnen von Punkten nahe dem Kreismittelpunkt (mit 'i > 2:1')

                 
 
1) 		 
 
2) 		 
 
3)

Berechnungsbeispiel (editierbar)
 
Beispiel: Radius des feststehenden Hohlrades: rR = (iZ) =

Radius des umlaufenden Rades: rG = (iN) =          

Radius des BALLschen Kreises: rB =

Bahnen von Punkten innerhalb des Randes des umlaufenden Rades (mit 'i > 2:1')

                 
 
1) 		 
 
2) 		 
 
3)

Bahnen von Punkten außerhalb des Randes des umlaufenden Rades (mit 'i > 2:1')

Bahnen von Punkten außerhalb der (ersten) Übergangskurve (mit 'i > 2:1')

Hypotrochoiden, die von Punkten außerhalb einer Übergangskurve erzeugt werden, weisen immer mehr Selbstschnittpunkte auf als Hypotrochoiden, die von Punkten innerhalb einer Übergangskurve erzeugt werden. Der Unterschied in der Anzahl an Selbstschnittpunkten entspricht dem doppelten der Anzahl an Schleifen.

Es wiederholen sich die Beschreibungen der Fälle analog zu A, B.1 und B.2 mit dem Unterschied, dass die innere Begrenzung nicht die Gangpolkurve (gelber Ring) sondern die zuletzt ermittelte Übergangskurve (oranger Ring) ist. Beispielhaft werden diese Fälle hier noch einmal mit den richtigen Begriffen und den Bezeichnungen als Fälle U, V.1 und V.2 aufgeführt.

Wird der eine Trochoide erzeugende Punkt von der Übergangskurve nach außen verschoben, sind die Fälle U, V.1 und V.2 zu unterscheiden:

  1. Durch das Verschieben (Bild 2) entsteht ein Mehrfach-Selbstschnittpunkt, der nicht durch Selbstberührungspunkte überlagert ist (Bild 3),
     
     
    1)     		 
     
    2)     		 
     
    3)     		 
     
    4)
    Die Anzahl an Selbstschnittpunkten,Selbstberührungspunkten (0) und Seitenwechsel des Krümmungsmittelpunktes (0) der Hypotrochoiden ändert sich nicht, wenn der erzeugende Punkt weiter nach außen verschoben wird (vergleiche Bilder 2 und 4 oben).

    Die Hypotrochoiden innerhalb und außerhalb des gepunkteten Kreises unterscheiden sich nur in der Umrandung des mittleren Feldes: Es wird gebildet entweder durch (kaum zu erkennende)
    konkave oder durch konvexe Kurvenabschnitte (vergleiche Bilder 2 und 4).

  2. Durch das Verschieben (Bild 2 unten) ensteht ein Selbstberührungspunkt (Bild 3 unten), Die zugehörige Übergangskurve in blau ist in Bild 2 und 4 zu sehen, wenn sich die Maus über einem der beiden Bilder befindet.

    1. Geht die Übergangskurve durch den 'Mittelpunkt des Hohlrades', (Bild 2 oder 4, erkennbar wenn der Cursor über dem Bild steht.) so ist die Anzahl an Schleifen geradzahlig.

      Die 'Anzahl an Selbstschnittpunkten' der Hypotrochoiden, die von Punkten außerhalb der Übergangskurve erzeugt werden (Bild 4: Anzahl=24), ist um die 'Anzahl an Schleifen' (Bild 2 bis 4: Anzahl=6) größer als von Punkten innerhalb der Übergangskurve (Bild 2: Anzahl=18).
       
       
      1)       		 
       
      2)       		 
       
      3)       		 
       
      4)

      • In den Bildern ist der grüne Ring leider so klein, dass er fast im Mittelpunkt des umlaufenden Rades verschindet

      2.
    2. Ist der Radius der Übergangskurve kleiner als ein Kreis um den 'Mittelpunkt des umlaufenden Rades' und durch den 'Mittelpunkt des Hohlrades', (kleiner als der gepunktete Kreis in Bild 2 unten, erkennbar wenn der Cursor über dem Bild steht.)
      so ist mit dieser Übergangskurve die Einteilung in Ringe zur Ermittlung der Formenvielfalt noch nicht beendet.
       
       
      1)       		 
       
      2)       		 
       
      3)
      • In den Bildern ist der grüne Ring leider so klein, dass er im Mittelpunkt des umlaufenden Rades verschindet

      In diesem Fall (V.2)

      • weist die Hypotrochoide noch einen Mehrfach-Selbstschnittpunkt auf (analog zu Fall U).
      • oder gibt es noch (mindestens) eine weitere Übergangskurve außerhalb der Gefundenen (analog zu Fall V.1 bzw. V.2)

      Es muss also ein weiteres mal die Fallunterscheidung U, V.1 und V.2 durchlaufen werden, und zwar so lange, bis die Fälle U bzw. V.1 erreicht werden.

Berechnen der Anzahl von Selbstschnittpunkten einer Hypotrochoide bzw. einer Hypozykloide (editierbar)
 
Beispiel: Radius des feststehenden Hohlrades rR = (iZ) = Radius des umlaufenden Rades rG = (iN) =     

Anzahl Schleifen bzw. Spitzen: nS&S =
Anzahl Umdrehungen des Mittelpunktes des umlaufenden Rades pro Periode: nU =
Anzahl Krümmungswechsel von Trochoiden, die von Punkten zwischen Gangpolkurve und BALLscher Kurve erzeugt werden: nkMax =
(bei allen anderen Punkten ist die Anzahl: nK = 0)
Radius des BALLschen Kreises: rB =
Radius der Gangpolkurve: rG =
Anzahl Übergangskurven: nÜmax =
Minimale Anzahl an Selbstschnittpunkten: nSmin = Anzahl Selbstschnittpunkte der Gangpolkurve (des umlaufenden Rades) =
Anzahl an Selbstschnittpunkten zwischen Gangpolkurve und Übergangskurve: nS1 =
Maximale Anzahl an Selbstschnittpunkten: nSmax = Anzahl an Selbstschnittpunkten der =
Radius der Übergangskurve rÜ = Abstand 'a' eines Punktes - der eine Hypotrochoide mit Selbstberührungspunkt erzeugt - vom 'Mittelpunkt des Umlaufenden Rades':

Eine Hypotrochoide mit einem Mehrfachselbstschnittpunkt, der kein Selbstberührungspunkt ist, existiert

 

 

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© Volker Jäkel, 7.2.2024

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